九年级数学测试
（满分：100分 考试时间：90分钟）
姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________
完成时间：_______ 分钟 得分：_______
一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，是关于 x x x 的一元二次方程的是（ ）
A. x 2 + 1 x = 0 x^2 + \frac{1}{x} = 0 x 2 + x 1 = 0 B. a x 2 + b x + c = 0 ax^2 + bx + c = 0 a x 2 + b x + c = 0 C. ( x − 1 ) ( x + 2 ) = 1 (x-1)(x+2)=1 ( x − 1 ) ( x + 2 ) = 1 D. 3 x 2 − 2 x y − 5 y 2 = 0 3x^2 - 2xy - 5y^2 = 0 3 x 2 − 2 x y − 5 y 2 = 0
2. 抛物线 y = − 2 ( x − 1 ) 2 + 3 y = -2(x-1)^2 + 3 y = − 2 ( x − 1 ) 2 + 3 的顶点坐标是（ ）
A. ( 1 , 3 ) (1, 3) ( 1 , 3 ) B. ( − 1 , 3 ) (-1, 3) ( − 1 , 3 ) C. ( 1 , − 3 ) (1, -3) ( 1 , − 3 ) D. ( − 1 , − 3 ) (-1, -3) ( − 1 , − 3 )
3. 若 △ A B C ∼ △ D E F \triangle ABC \sim \triangle DEF △ A B C ∼ △ D E F ，且相似比为 2 : 3 2:3 2 : 3 ，则 △ A B C \triangle ABC △ A B C 与 △ D E F \triangle DEF △ D E F 的周长比为（ ）
A. 2 : 3 2:3 2 : 3 B. 3 : 2 3:2 3 : 2 C. 4 : 9 4:9 4 : 9 D. 9 : 4 9:4 9 : 4
4. 一元二次方程 x 2 − 4 x + 4 = 0 x^2 - 4x + 4 = 0 x 2 − 4 x + 4 = 0 的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定
5. 将抛物线 y = x 2 y = x^2 y = x 2 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线表达式是（ ）
A. y = ( x − 2 ) 2 + 1 y = (x-2)^2 + 1 y = ( x − 2 ) 2 + 1 B. y = ( x + 2 ) 2 + 1 y = (x+2)^2 + 1 y = ( x + 2 ) 2 + 1 C. y = ( x − 2 ) 2 − 1 y = (x-2)^2 - 1 y = ( x − 2 ) 2 − 1 D. y = ( x + 2 ) 2 − 1 y = (x+2)^2 - 1 y = ( x + 2 ) 2 − 1
6. 如图，D E ∥ B C DE \parallel BC D E ∥ B C ，若 A D = 2 AD = 2 A D = 2 ，B D = 3 BD = 3 B D = 3 ，则 D E B C \frac{DE}{BC} B C D E 的值为（ ）
A. 2 3 \frac{2}{3} 3 2 B. 2 5 \frac{2}{5} 5 2 C. 3 5 \frac{3}{5} 5 3 D. 5 2 \frac{5}{2} 2 5
7. 某商品原价为100元，连续两次降价后的价格为81元，设平均每次降价的百分率为 x x x ，则下面所列方程正确的是（ ）
A. 100 ( 1 + x ) 2 = 81 100(1+x)^2 = 81 100 ( 1 + x ) 2 = 81 B. 100 ( 1 − x ) 2 = 81 100(1-x)^2 = 81 100 ( 1 − x ) 2 = 81 C. 100 ( 1 − 2 x ) = 81 100(1-2x) = 81 100 ( 1 − 2 x ) = 81 D. 100 ( 1 − x 2 ) = 81 100(1-x^2) = 81 100 ( 1 − x 2 ) = 81
8. 关于二次函数 y = − x 2 + 2 x + 3 y = -x^2 + 2x + 3 y = − x 2 + 2 x + 3 ，下列说法正确的是（ ）
A. 图象开口向上 B. 当 x > 1 x > 1 x > 1 时，y y y 随 x x x 的增大而增大 C. 函数的最大值是4 D. 图象的对称轴是 x = − 1 x = -1 x = − 1
二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 方程 x 2 = 9 x^2 = 9 x 2 = 9 的解是 x 1 = x_1 = x 1 = （ ），x 2 = x_2 = x 2 = （ ）。
10. 二次函数 y = x 2 − 4 x + 5 y = x^2 - 4x + 5 y = x 2 − 4 x + 5 的最小值是 ______。
11. 若 a b = 2 3 \frac{a}{b} = \frac{2}{3} b a = 3 2 ，则 a + b b = \frac{a+b}{b} = b a + b = ______。
12. 已知 m m m 是方程 x 2 − x − 2 = 0 x^2 - x - 2 = 0 x 2 − x − 2 = 0 的一个根，则代数式 m 2 − m m^2 - m m 2 − m 的值为 ______。
13. 在 △ A B C \triangle ABC △ A B C 中，点 D D D ，E E E 分别在边 A B AB A B ，A C AC A C 上，且 D E ∥ B C DE \parallel BC D E ∥ B C 。若 A D = 4 AD = 4 A D = 4 ，D B = 2 DB = 2 D B = 2 ，D E = 3 DE = 3 D E = 3 ，则 B C = BC = B C = ______。
14. 抛物线 y = a x 2 + b x + c y = ax^2 + bx + c y = a x 2 + b x + c 与 x x x 轴交于点 ( − 1 , 0 ) (-1, 0) ( − 1 , 0 ) 和 ( 3 , 0 ) (3, 0) ( 3 , 0 ) ，则它的对称轴是直线 ______。
三、解答题（共58分） 15. （12分）解下列方程：
（1）x 2 − 6 x + 5 = 0 x^2 - 6x + 5 = 0 x 2 − 6 x + 5 = 0 （用配方法）
解：
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（2）2 x ( x − 3 ) = x − 3 2x(x-3) = x - 3 2 x ( x − 3 ) = x − 3
解：
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16. （8分）已知关于 x x x 的一元二次方程 x 2 + ( 2 k + 1 ) x + k 2 = 0 x^2 + (2k+1)x + k^2 = 0 x 2 + ( 2 k + 1 ) x + k 2 = 0 有两个不相等的实数根。
（1）求 k k k 的取值范围；
（2）若 k k k 为满足条件的最大整数，求此时方程的根。
解：
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17. （10分）如图，在 △ A B C \triangle ABC △ A B C 中，D D D 是 A B AB A B 上一点，连接 C D CD C D ，且 ∠ A C D = ∠ B \angle ACD = \angle B ∠ A C D = ∠ B 。
（1）求证：△ A C D ∼ △ A B C \triangle ACD \sim \triangle ABC △ A C D ∼ △ A B C ；
（2）若 A D = 3 AD = 3 A D = 3 ，A B = 8 AB = 8 A B = 8 ，求 A C AC A C 的长。
解：
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18. （14分）某商场销售一种商品，进价为每件20元，售价为每件30元时，每天可售出500件。市场调查发现：在每件30元的基础上，售价每上涨1元，每天就少售出20件。
（1）当售价定为每件35元时，每天的销售量为 ______ 件，每天的利润为 ______ 元。
（2）设该商品的售价上涨 x x x 元（x x x 为正整数），每天的销售利润为 y y y 元。
① 求 y y y 与 x x x 之间的函数关系式；
② 售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
解：
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19. （14分）在平面直角坐标系 x O y xOy x O y 中，抛物线 y = a x 2 + b x + 2 y = ax^2 + bx + 2 y = a x 2 + b x + 2 经过点 A ( − 2 , 0 ) A(-2, 0) A ( − 2 , 0 ) 和 B ( 1 , 0 ) B(1, 0) B ( 1 , 0 ) 。
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点 P ( m , n ) P(m, n) P ( m , n ) 是抛物线上一点，且点 P P P 到 y y y 轴的距离小于2，求 n n n 的取值范围；
（3）设抛物线的顶点为 M M M ，将抛物线平移，使新抛物线的顶点 N N N 落在直线 y = x + 4 y = x + 4 y = x + 4 上，且新抛物线经过原点 O O O ，求平移后抛物线的表达式。
解：
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参考答案及评分标准
一、选择题（每小题3分，共24分） 1. C 2. A 3. A 4. B 5. A 6. B 7. B 8. C
二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 3 3 3 ，− 3 -3 − 3 （对一个得2分，全对得3分）
10. 1 1 1
11. 5 3 \frac{5}{3} 3 5
12. 2 2 2
13. 4.5 4.5 4.5 或 9 2 \frac{9}{2} 2 9
14. x = 1 x = 1 x = 1
三、解答题（共58分） 15. （12分）
（1）解：x 2 − 6 x = − 5 x^2 - 6x = -5 x 2 − 6 x = − 5 …………（1分）
x 2 − 6 x + 9 = − 5 + 9 x^2 - 6x + 9 = -5 + 9 x 2 − 6 x + 9 = − 5 + 9 …………（2分）
( x − 3 ) 2 = 4 (x-3)^2 = 4 ( x − 3 ) 2 = 4 …………（3分）
x − 3 = 2 x-3 = 2 x − 3 = 2 或 x − 3 = − 2 x-3 = -2 x − 3 = − 2 …………（4分）
∴ x 1 = 5 , x 2 = 1 \therefore x_1 = 5, x_2 = 1 ∴ x 1 = 5 , x 2 = 1 …………（6分）
（2）解：2 x ( x − 3 ) − ( x − 3 ) = 0 2x(x-3) - (x-3) = 0 2 x ( x − 3 ) − ( x − 3 ) = 0 …………（1分）
( x − 3 ) ( 2 x − 1 ) = 0 (x-3)(2x-1) = 0 ( x − 3 ) ( 2 x − 1 ) = 0 …………（3分）
x − 3 = 0 x-3 = 0 x − 3 = 0 或 2 x − 1 = 0 2x-1 = 0 2 x − 1 = 0 …………（4分）
∴ x 1 = 3 , x 2 = 1 2 \therefore x_1 = 3, x_2 = \frac{1}{2} ∴ x 1 = 3 , x 2 = 2 1 …………（6分）
16. （8分）
解：（1）∵ \because ∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ Δ = ( 2 k + 1 ) 2 − 4 × 1 × k 2 > 0 \therefore \Delta = (2k+1)^2 - 4 \times 1 \times k^2 > 0 ∴ Δ = ( 2 k + 1 ) 2 − 4 × 1 × k 2 > 0 …………（2分）
即 4 k 2 + 4 k + 1 − 4 k 2 > 0 4k^2 + 4k + 1 - 4k^2 > 0 4 k 2 + 4 k + 1 − 4 k 2 > 0
∴ 4 k + 1 > 0 \therefore 4k + 1 > 0 ∴ 4 k + 1 > 0 …………（3分）
解得 k > − 1 4 k > -\frac{1}{4} k > − 4 1 …………（4分）
（2）∵ k > − 1 4 \because k > -\frac{1}{4} ∵ k > − 4 1 ，且 k k k 为最大整数，
∴ k = 0 \therefore k = 0 ∴ k = 0 …………（5分）
此时方程为 x 2 + x = 0 x^2 + x = 0 x 2 + x = 0 …………（6分）
解得 x ( x + 1 ) = 0 x(x+1) = 0 x ( x + 1 ) = 0
∴ x 1 = 0 , x 2 = − 1 \therefore x_1 = 0, x_2 = -1 ∴ x 1 = 0 , x 2 = − 1 …………（8分）
17. （10分）
（1）证明：在 △ A C D \triangle ACD △ A C D 与 △ A B C \triangle ABC △ A B C 中，
∵ ∠ A = ∠ A \because \angle A = \angle A ∵ ∠ A = ∠ A ，∠ A C D = ∠ B \angle ACD = \angle B ∠ A C D = ∠ B ， …………（2分）
∴ △ A C D ∼ △ A B C \therefore \triangle ACD \sim \triangle ABC ∴ △ A C D ∼ △ A B C （两角分别相等的两个三角形相似） …………（4分）
（2）解：∵ △ A C D ∼ △ A B C \because \triangle ACD \sim \triangle ABC ∵ △ A C D ∼ △ A B C ，
∴ A D A C = A C A B \therefore \frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB} ∴ A C A D = A B A C …………（6分）
即 3 A C = A C 8 \frac{3}{AC} = \frac{AC}{8} A C 3 = 8 A C …………（7分）
∴ A C 2 = 24 \therefore AC^2 = 24 ∴ A C 2 = 24 …………（8分）
∴ A C = 2 6 \therefore AC = 2\sqrt{6} ∴ A C = 2 6 （负值舍去） …………（10分）
18. （14分）
解：（1）400 400 400 ；6000 6000 6000 …………（2分）
（2）① 售价上涨 x x x 元后，每件利润为 ( 30 + x − 20 ) = ( 10 + x ) (30 + x - 20) = (10 + x) ( 30 + x − 20 ) = ( 10 + x ) 元， …………（3分）
销售量为 ( 500 − 20 x ) (500 - 20x) ( 500 − 20 x ) 件。 …………（4分）
∴ y = ( 10 + x ) ( 500 − 20 x ) \therefore y = (10 + x)(500 - 20x) ∴ y = ( 10 + x ) ( 500 − 20 x ) …………（5分）
即 y = − 20 x 2 + 300 x + 5000 y = -20x^2 + 300x + 5000 y = − 20 x 2 + 300 x + 5000 （x x x 为正整数） …………（7分）
② y = − 20 x 2 + 300 x + 5000 = − 20 ( x − 7.5 ) 2 + 6125 y = -20x^2 + 300x + 5000 = -20(x - 7.5)^2 + 6125 y = − 20 x 2 + 300 x + 5000 = − 20 ( x − 7.5 ) 2 + 6125 …………（10分）
∵ a = − 20 < 0 \because a = -20 < 0 ∵ a = − 20 < 0 ，且 x x x 为正整数，
∴ \therefore ∴ 当 x = 7 x = 7 x = 7 或 x = 8 x = 8 x = 8 时，y y y 有最大值。 …………（11分）
当 x = 7 x = 7 x = 7 时，售价为 37 37 37 元，y = − 20 × 0.5 2 + 6125 = 6120 y = -20 \times 0.5^2 + 6125 = 6120 y = − 20 × 0. 5 2 + 6125 = 6120 （元）；
当 x = 8 x = 8 x = 8 时，售价为 38 38 38 元，y = − 20 × 0.5 2 + 6125 = 6120 y = -20 \times 0.5^2 + 6125 = 6120 y = − 20 × 0. 5 2 + 6125 = 6120 （元）。 …………（13分）
答：售价定为37元或38元时，每天的销售利润最大，最大利润是6120元。 …………（14分）
19. （14分）
解：（1）将 A ( − 2 , 0 ) A(-2, 0) A ( − 2 , 0 ) ，B ( 1 , 0 ) B(1, 0) B ( 1 , 0 ) 代入 y = a x 2 + b x + 2 y = ax^2 + bx + 2 y = a x 2 + b x + 2 得：
{ 4 a − 2 b + 2 = 0 a + b + 2 = 0 \begin{cases} 4a - 2b + 2 = 0 \\ a + b + 2 = 0 \end{cases} { 4 a − 2 b + 2 = 0 a + b + 2 = 0 …………（1分）
解得 { a = − 1 b = − 1 \begin{cases} a = -1 \\ b = -1 \end{cases} { a = − 1 b = − 1 …………（2分）
∴ \therefore ∴ 抛物线的表达式为 y = − x 2 − x + 2 y = -x^2 - x + 2 y = − x 2 − x + 2 。 …………（3分）
（2）y = − x 2 − x + 2 = − ( x + 1 2 ) 2 + 9 4 y = -x^2 - x + 2 = -(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{9}{4} y = − x 2 − x + 2 = − ( x + 2 1 ) 2 + 4 9 ，顶点为 ( − 1 2 , 9 4 ) (-\frac{1}{2}, \frac{9}{4}) ( − 2 1 , 4 9 ) 。 …………（4分）
∵ \because ∵ 点 P ( m , n ) P(m, n) P ( m , n ) 到 y y y 轴的距离小于2，
∴ ∣ m ∣ < 2 \therefore |m| < 2 ∴ ∣ m ∣ < 2 ，即 − 2 < m < 2 -2 < m < 2 − 2 < m < 2 。 …………（5分）
∵ a = − 1 < 0 \because a = -1 < 0 ∵ a = − 1 < 0 ，抛物线开口向下，对称轴为 x = − 1 2 x = -\frac{1}{2} x = − 2 1 ，
∴ \therefore ∴ 当 − 2 < m ≤ − 1 2 -2 < m \leq -\frac{1}{2} − 2 < m ≤ − 2 1 时，n n n 随 m m m 增大而增大；当 − 1 2 ≤ m < 2 -\frac{1}{2} \leq m < 2 − 2 1 ≤ m < 2 时，n n n 随 m m m 增大而减小。 …………（6分）
当 m = − 2 m = -2 m = − 2 时，n = 0 n = 0 n = 0 ；当 m = − 1 2 m = -\frac{1}{2} m = − 2 1 时，n = 9 4 n = \frac{9}{4} n = 4 9 ；当 m = 2 m = 2 m = 2 时，n = − 4 n = -4 n = − 4 。
∴ \therefore ∴ 当 − 2 < m < 2 -2 < m < 2 − 2 < m < 2 时，− 4 < n ≤ 9 4 -4 < n \leq \frac{9}{4} − 4 < n ≤ 4 9 。 …………（8分）
（3）由（2）知，原顶点 M M M 坐标为 ( − 1 2 , 9 4 ) (-\frac{1}{2}, \frac{9}{4}) ( − 2 1 , 4 9 ) 。 …………（9分）
设平移后顶点 N N N 的坐标为 ( t , t + 4 ) (t, t+4) ( t , t + 4 ) ，则新抛物线表达式可设为 y = − ( x − t ) 2 + ( t + 4 ) y = -(x - t)^2 + (t+4) y = − ( x − t ) 2 + ( t + 4 ) 。 …………（10分）
∵ \because ∵ 新抛物线经过原点 O ( 0 , 0 ) O(0, 0) O ( 0 , 0 ) ，
∴ 0 = − ( 0 − t ) 2 + ( t + 4 ) \therefore 0 = -(0 - t)^2 + (t+4) ∴ 0 = − ( 0 − t ) 2 + ( t + 4 ) ，即 − t 2 + t + 4 = 0 -t^2 + t + 4 = 0 − t 2 + t + 4 = 0 。 …………（11分）
解得 t = 1 ± 17 2 t = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2} t = 2 1 ± 17 。 …………（12分）
∴ \therefore ∴ 平移后抛物线的表达式为 y = − ( x − 1 + 17 2 ) 2 + ( 1 + 17 2 + 4 ) y = -(x - \frac{1 + \sqrt{17}}{2})^2 + (\frac{1 + \sqrt{17}}{2} + 4) y = − ( x − 2 1 + 17 ) 2 + ( 2 1 + 17 + 4 ) 或
y = − ( x − 1 − 17 2 ) 2 + ( 1 − 17 2 + 4 ) y = -(x - \frac{1 - \sqrt{17}}{2})^2 + (\frac{1 - \sqrt{17}}{2} + 4) y = − ( x − 2 1 − 17 ) 2 + ( 2 1 − 17 + 4 ) 。 …………（14分）