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数学高中期末试卷

高一数学期末测试卷

高一数学期末测试卷（必修五、必修六、必修七、必修八）完成时间：_______ 分钟满分：150分得分：_______ 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在 △ A B C \triangle ABC △ A B C 中，若 a = 3 a = 3 a = 3 ， b = 4

试卷正文

高一数学期末测试卷

（必修五、必修六、必修七、必修八）

完成时间：_______ 分钟满分：150分得分：_______

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 在 $\triangle ABC$ 中，若 $a = 3$ ， $b = 4$ ， $\angle C = 60^\circ$ ，则边 $c$ 的值为（）

A. $\sqrt{13}$ B. $\sqrt{37}$ C. $5$ D. $\sqrt{21}$

2. 已知数列 $\{a_n\}$ 是等差数列，且 $a_2 = 5$ ， $a_5 = 14$ ，则该数列的公差 $d$ 等于（）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

3. 不等式 $x^2 - 5x + 6 < 0$ 的解集为（）

A. $\{x | x < 2 \text{ 或 } x > 3\}$ B. $\{x | 2 < x < 3\}$ C. $\{x | x < -3 \text{ 或 } x > -2\}$ D. $\{x | -3 < x < -2\}$

4. 若变量 $x$ ， $y$ 满足约束条件 $\begin{cases} x + y \leq 4 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$ ，则目标函数 $z = x + 2y$ 的最大值为（）

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

5. 在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，直线 $AB_1$ 与平面 $ABCD$ 所成角的正弦值为（）

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B. $\frac{1}{2}$ C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

6. 过点 $A(1, 2)$ 且斜率为 $2$ 的直线方程为（）

A. $y = 2x$ B. $y = 2x - 2$ C. $y = 2x$ 无截距 D. $y - 2 = 2(x - 1)$

7. 在等比数列 $\{a_n\}$ 中，若 $a_1 = 2$ ，公比 $q = 3$ ，则该数列的前 $5$ 项和为（）

A. 120 B. 200 C. 242 D. 360

8. 圆 $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0$ 的圆心坐标和半径分别是（）

A. $(2, -1)$ ， $r = 3$ B. $(2, -1)$ ， $r = 9$ C. $(-2, 1)$ ， $r = 3$ D. $(-2, 1)$ ， $r = 9$

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

9. 在 $\triangle ABC$ 中，若 $a = 6$ ， $b = 8$ ， $\angle B = 90^\circ$ ，则 $c =$ ______。	10. 不等式 $\dfrac{x - 1}{x + 2} > 0$ 的解集为 ______。
11. 已知直线 $l_1: y = 3x + 1$ ，直线 $l_2$ 与 $l_1$ 平行，且过点 $(0, 4)$ ，则 $l_2$ 的方程为 ______。	12. 一个正三棱柱的底面边长为 $2$ ，侧棱长为 $4$ ，则该棱柱的全面积为 ______。

三、解答题（本大题共6小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

13.（本小题满分14分）在 $\triangle ABC$ 中，已知 $a = 5$ ， $b = 7$ ， $\cos C = \dfrac{1}{5}$ 。

（1）求边 $c$ 的长度；（7分）

（2）求 $\triangle ABC$ 的面积。（7分）

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14.（本小题满分14分）已知等差数列 $\{a_n\}$ 中， $a_3 = 7$ ， $a_7 = 19$ 。

（1）求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；（7分）

（2）求该数列的前 $n$ 项和 $S_n$ 。（7分）

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15.（本小题满分15分）某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每件甲产品需用 A 原料 2 kg、B 原料 3 kg；生产每件乙产品需用 A 原料 4 kg、B 原料 2 kg。该厂现有 A 原料 20 kg，B 原料 18 kg。设生产甲产品 $x$ 件，乙产品 $y$ 件。

（1）列出 $x$ ， $y$ 满足的不等式组，并画出可行域；（8分）

（2）若每件甲产品利润 30 元，每件乙产品利润 40 元，问该厂应如何安排生产，才能使利润最大？最大利润是多少？（7分）

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16.（本小题满分15分）如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是正方形， $PA \perp$ 底面 $ABCD$ ， $PA = AB = 2$ 。

（1）求证： $BD \perp$ 平面 $PAC$ ；（8分）

（2）求三棱锥 $P-BCD$ 的体积。（7分）

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17.（本小题满分16分）已知圆 $C$ 的方程为 $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25$ ，直线 $l$ 的方程为 $3x - 4y + 4 = 0$ 。

（1）求圆心 $C$ 到直线 $l$ 的距离；（8分）

（2）判断直线 $l$ 与圆 $C$ 的位置关系；若相交，求相交弦的长度。（8分）

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18.（本小题满分16分）已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n = n^2 + n$ 。

（1）求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；（8分）

（2）若 $b_n = 2^{a_n}$ ，求证数列 $\{b_n\}$ 是等比数列，并求出其前 $n$ 项和 $T_n$ 。（8分）

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