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数学小学公开试卷

高一数学必修二 综合测试卷

高一数学必修二 综合测试卷 完成时间：_______ 分钟 得分：_______ 一、选择题（共8题，每题5分） 1. 已知向量 a ⃗ = ( 1 , 2 ) \vec{a} = (1, 2) a = ( 1 , 2 ) ， b ⃗ = ( 3 , − 1 ) \vec{b} = (3, -1) b = ( 3 , − 1 ) ，则 a ⃗ + b ⃗ \

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高一数学必修二 综合测试卷


完成时间：_______ 分钟 得分：_______



一、选择题（共8题，每题5分）

1. 已知向量 a⃗=(1,2)\vec{a} = (1, 2)，b⃗=(3,−1)\vec{b} = (3, -1)，则 a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} 的坐标为（______）

A. (4,1)(4, 1) B. (2,−3)(2, -3) C. (−2,3)(-2, 3) D. (4,−1)(4, -1)

2. 若复数 z=2−3iz = 2 - 3i，则 zz 的共轭复数 z‾\overline{z} 为（______）

A. 2+3i2 + 3i B. −2+3i-2 + 3i C. 2−3i2 - 3i D. −2−3i-2 - 3i

3. 已知向量 a⃗\vec{a}，b⃗\vec{b} 满足 ∣a⃗∣=3|\vec{a}| = 3，∣b⃗∣=4|\vec{b}| = 4，且 a⃗⋅b⃗=−6\vec{a} \cdot \vec{b} = -6，则 a⃗\vec{a} 与 b⃗\vec{b} 的夹角为（______）

A. 30∘30^\circ B. 60∘60^\circ C. 120∘120^\circ D. 150∘150^\circ

4. 一组数据：12,15,18,20,22,25,28,3012, 15, 18, 20, 22, 25, 28, 30，则该组数据的第60百分位数为（______）

A. 2020 B. 2121 C. 2222 D. 2323

5. 在复平面内，复数 z=1+i1−iz = \frac{1+i}{1-i}（其中 ii 为虚数单位）对应的点位于（______）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

6. 已知向量 a⃗=(2,−1)\vec{a} = (2, -1)，b⃗=(m,4)\vec{b} = (m, 4)，且 a⃗⊥b⃗\vec{a} \perp \vec{b}，则实数 mm 的值为（______）

A. −2-2 B. 22 C. −8-8 D. 88

7. 某校高一年级共有学生500人，其中男生300人，女生200人。现采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为50的样本，则样本中女生人数为（______）

A. 2020 B. 3030 C. 1515 D. 2525

8. 若复数 zz 满足 (1+i)z=∣3+i∣(1+i)z = |\sqrt{3}+i|，则 zz =（______）

A. 1−i1-i B. −1+i-1+i C. 12−12i\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i D. 12+12i\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i



二、填空题（共6题，每题5分）


9. 已知向量 a⃗=(3,−4)\vec{a} = (3, -4)，则 ∣a⃗∣=|\vec{a}| =  ______。

10. 计算：(2+3i)(1−2i)=(2+3i)(1-2i) =  ______。

11. 若复数 z=m2−m−6+(m2−9)iz = m^2 - m -6 + (m^2-9)i（m∈Rm \in \mathbb{R}）是纯虚数，则实数 m=m =  ______。

12. 已知向量 a⃗=(1,k)\vec{a} = (1, k)，b⃗=(k−1,−3)\vec{b} = (k-1, -3)，且 a⃗∥b⃗\vec{a} \parallel \vec{b}，则实数 k=k =  ______。

13. 一组数据：5,7,8,10,12,13,15,18,205,7,8,10,12,13,15,18,20，则该组数据的第25百分位数为 ______。

14. 已知向量 a⃗\vec{a}，b⃗\vec{b}满足 a⃗⋅b⃗=−8\vec{a} \cdot \vec{b} = -8，且 a⃗\vec{a}在b⃗\vec{b}上的投影向量为 −2b⃗-2\vec{b}，则 ∣b⃗∣=|\vec{b}| =  ______。



三、解答题（共5题）

15.（本小题满分12分）

已知向量 a⃗=(1,−2)\vec{a} = (1, -2)，b⃗=(−3,x)\vec{b} = (-3, x)。

(1) 若 a⃗⊥b⃗\vec{a} \perp \vec{b}，求实数xx的值；

(2)  若 a⃗\vec{a}∥∥b⃗\vec{b}，求实数xx的值。

16.（本小题满分12分）

已知复数 z1=a+biz_1 = a+bi（a,b∈Ra,b\in\mathbb{R}），z2=−1+3iz_2 = -1+3i，且满足 z1z2=i−1\frac{z_1}{z_2} = i-1。

(1)  求复数 z1z_1；

(2)  若复数 w=z1+z2+m(1−i)w = z_1 + z_2 + m(1-i)（m∈Rm\in\mathbb{R}）在复平面内对应的点在第二象限，求实数 mm的取值范围。

17.（本小题满分12分）

某校为了解高一年级学生的体育锻炼情况，随机抽取了100名学生进行问卷调查。调查结果如下表所示：

每天锻炼时间（分钟）

[0,30)

[30,60)

[60,90)

[90,120]

人数

10

30

40

20

(1) 请根据表中数据绘制频率分布直方图的大致形状（不要求精确画图），并估计该校高一年级学生每天锻炼时间的平均数；

(2) 估计该校高一年级学生每天锻炼时间的第80百分位数；

(3) 从每天锻炼时间在[0,30)和[90,120]的学生中按分层随机抽样的方法抽取6人进行访谈，再从这6人中随机抽取2人进行深度访谈，求这2人来自不同组的概率。

18.（本小题满分12分）

如图（请自行想象），在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD。点E、F分别为棱PB、PC的中点。

(1) 求证：EF∥平面PAD；

(2) 求证：平面PAB⊥平面PBC；

(3) 若PA=AB=AD=2，求三棱锥P-AEF的体积。

19.（本小题满分12分）

已知向量 m⃗=(sin⁡x,−3cos⁡x)\vec{m} = (\sin x, -\sqrt{3}\cos x)，n⃗=(cos⁡x,cos⁡x)\vec{n} = (\cos x, \cos x)。设函数 f(x)=m⃗⋅n⃗+32f(x) = \vec{m}\cdot\vec{n} + \frac{\sqrt{3}}{2}。

(1)  求函数 f(x)f(x)的最小正周期和单调递增区间；

(2)  若方程 f(x)=kf(x)=k在区间[0,π2]\left[0,\frac{\pi}{2}\right]上有两个不同的实数根，求实数k的取值范围。