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数学初中专题训练

数学思维开拓训练（二）

数学思维开拓训练（二） 完成时间：______分钟 得分：______ A卷（共100分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 二次函数 y = 2 x 2 − 4 x + 5 y = 2x^2 - 4x + 5 y = 2 x 2 − 4 x + 5 的顶点坐标是（ ） A. (1, 3) B. (1, 5) C. (2, 3) D. (

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数学思维开拓训练（二）


完成时间：______分钟 得分：______

A卷（共100分）



一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1. 二次函数 y=2x2−4x+5y = 2x^2 - 4x + 5 的顶点坐标是（ ）

A. (1, 3) B. (1, 5) C. (2, 3) D. (2, 5)

2. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4，则 AB =（ ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

3. 一元二次方程 x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0 的两个实数根是（ ）

A. 2 和 3 B. -2 和 -3 C. 1 和 6 D. -1 和 -6

4. 在 ⊙O 中，A、B、C 是圆上的三点（O 为圆心），且 ∠ACB = 50°，则圆心角 ∠AOB 的度数为（ ）

A. 50° B. 100° C. 25° D. 130°

5. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，若 sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5}，则 tan⁡A=\tan A =（ ）

A. 34\frac{3}{4} B. 43\frac{4}{3} C. 35\frac{3}{5} D. 45\frac{4}{5}

6. 在 ⊙O 中，弦 AB 的长为 8 cm，圆心 O 到弦 AB 的距离为 3 cm，则 ⊙O 的半径为（ ）

A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 7 cm

7. 已知集合 A={1,2,3,4}A = \{1, 2, 3, 4\}，B={3,4,5}B = \{3, 4, 5\}，则 A∩B=A \cap B =（ ）

A. {1,2}\{1, 2\} B. {3,4}\{3, 4\} C. {5}\{5\} D. {1,2,3,4,5}\{1, 2, 3, 4, 5\}

8. 复数 z=2+3iz = 2 + 3i 的共轭复数为（ ）

A. 2−3i2 - 3i B. −2+3i-2 + 3i C. −2−3i-2 - 3i D. 3+2i3 + 2i

9. 设 ii 为虚数单位，则 i2024=i^{2024} =（ ）

A. 1 B. i C. -1 D. −i-i

10. 下列各数中，属于有理数集 Q\mathbb{Q} 的是（ ）

A. π\pi B. 2\sqrt{2} C. 13\frac{1}{3} D. 5\sqrt{5}

二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）

11. 二次函数 y=−x2+4x−3y = -x^2 + 4x - 3 的顶点坐标为______．



12. 在 ⊙O 中，直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E，若 CD = 8，OE = 3，则 ⊙O 的半径为______．



13. 方程 2x2−3x−2=02x^2 - 3x - 2 = 0 的根为______．



14. 已知 sin⁡α=513\sin\alpha = \frac{5}{13}（0°<α<90°0° < \alpha < 90°），则 cos⁡α=\cos\alpha =______．



15. 已知集合 A={x∣x>2}A = \{x \mid x > 2\}，B={x∣x<5}B = \{x \mid x < 5\}，则 A∩B=A \cap B =______（用集合形式表示）．





三、解答题（共5小题，共50分）

16. （本题8分）计算：

∣−3∣+12−2sin⁡60°+(12)−1|-3| + \sqrt{12} - 2\sin 60° + \left(\frac{1}{2}\right)^{-1}

答：________________________________________







17. （本题8分）解方程：

x2−6x+8=0x^2 - 6x + 8 = 0

答：________________________________________







三、解答题（续）

18. （本题10分）在 ⊙O 中，AB 是直径，C 是 ⊙O 上一点（异于 A、B），OD ⊥ AC，垂足为 D。已知 AC = 8，OD = 3，求 ⊙O 的半径。

解：________________________________________

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19. （本题12分）已知二次函数 y=x2−2x−3y = x^2 - 2x - 3。

（1）求该函数图象的顶点坐标和对称轴；

（2）当 xx 取何值时，y>0y > 0？

解：________________________________________

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20. （本题12分·较难）在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8。点 D 在边 AB 上，点 E 在边 BC 上，且 ∠CDE = 90°。若 BD = 5，求 DE 的长。

解：________________________________________

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B卷（共50分）



一、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）

21. 已知复数 z1=2+iz_1 = 2 + i，z2=1−3iz_2 = 1 - 3i，则 z1⋅z2=z_1 \cdot z_2 =______．



22. 已知集合 A={x∣x2−4=0}A = \{x \mid x^2 - 4 = 0\}，B={x∣x>0}B = \{x \mid x > 0\}，则 A∩B=A \cap B =______．



23. 设 ii 为虚数单位，则 (1+i)2=(1 + i)^2 =______．



24. 已知二次函数 y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c（a≠0a \neq 0）的对称轴为直线 x=2x = 2，且图象经过点 (0, 3) 和 (2, -1)，则 a+b+c=a + b + c =______．



25. 已知一元二次方程 x2+px−6=0x^2 + px - 6 = 0 的一个根为 2，则 p=p =______，另一个根为______．





二、解答题（共3小题，共30分）

26. （本题8分）已知集合 A={x∣−1≤x<4}A = \{x \mid -1 \leq x < 4\}，B={x∣2<x≤6}B = \{x \mid 2 < x \leq 6\}，求 A∪BA \cup B 和 A∩BA \cap B。

解：________________________________________

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27. （本题10分）已知复数 z=2−i1+iz = \frac{2 - i}{1 + i}。

（1）求 zz 的代数形式；

（2）求 ∣z∣|z|。

解：________________________________________

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二、解答题（续）

28. （本题12分·困难）已知数轴上有 A、B 两点，点 A 表示的数为 -10，点 B 表示的数为 30。动点 P 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴向右运动；动点 Q 从点 B 出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向左运动。设运动时间为 tt 秒。

（1）当 tt 为何值时，P、Q 两点相遇？

（2）当 tt 为何值时，P、Q 两点之间的距离为 10 个单位长度？

解：________________________________________

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数学 · 答题卡

数学思维开拓训练（二）


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参考答案


A卷

一、选择题

1. A  解析：y=2x2−4x+5y=2x^2-4x+5，x=−b2a=1x=-\frac{b}{2a}=1，y=2(1)2−4(1)+5=3y=2(1)^2-4(1)+5=3，顶点为 (1,3)(1, 3)。

2. B  解析：AB=AC2+BC2=9+16=5AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{9+16}=5。

3. A  解析：x2−5x+6=(x−2)(x−3)=0x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0，根为 2 和 3。

4. B  解析：圆周角定理，圆心角等于同弧所对圆周角的 2 倍，∠AOB=2×50°=100°∠AOB=2×50°=100°。

5. A  解析：sin⁡A=35\sin A=\frac{3}{5}，设对边为 3k，斜边为 5k，邻边为 4k，tan⁡A=34\tan A=\frac{3}{4}。

6. B  解析：垂径定理，R2=32+(82)2=9+16=25R^2=3^2+\left(\frac{8}{2}\right)^2=9+16=25，R=5R=5 cm。

7. B  解析：A∩BA\cap B 为两集合公共元素，即 {3,4}\{3, 4\}。

8. A  解析：共轭复数实部不变，虚部变号，2+3i2+3i 的共轭为 2−3i2-3i。

9. A  解析：ii 的幂以 4 为周期，2024 能被 4 整除，i2024=1i^{2024}=1。

10. C  解析：π\pi、2\sqrt{2}、5\sqrt{5} 均为无理数，13\frac{1}{3} 是有理数。


二、填空题

11. (2, 1)  解析：x=−b2a=−4−2=2x=-\frac{b}{2a}=\frac{-4}{-2}=2，y=−(2)2+4(2)−3=1y=-(2)^2+4(2)-3=1。

12. 5  解析：设半径 R，CE = CD/2 = 4，R2=OE2+CE2=32+42=25R^2=OE^2+CE^2=3^2+4^2=25，R = 5。

13. x1=−12x_1=-\frac{1}{2}，x2=2x_2=2  解析：2x2−3x−2=(2x+1)(x−2)=02x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)=0。

14. 1213\frac{12}{13}  解析：cos⁡α=1−sin⁡2α=1−25169=1213\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\frac{12}{13}。

15. {x∣2<x<5}\{x \mid 2 < x < 5\}  解析：两集合交集的公共部分为 2<x<52 < x < 5。


三、解答题

16. 解：∣−3∣+12−2sin⁡60°+(12)−1|-3|+\sqrt{12}-2\sin60°+\left(\frac{1}{2}\right)^{-1} =3+23−2×32+2= 3+2\sqrt{3}-2×\frac{\sqrt{3}}{2}+2 =3+23−3+2= 3+2\sqrt{3}-\sqrt{3}+2 =5+3= 5+\sqrt{3}。


17. 解：x2−6x+8=0x^2-6x+8=0，(x−2)(x−4)=0(x-2)(x-4)=0，x1=2x_1=2，x2=4x_2=4。


18. 解：∵ OD⊥AC 于点 D，由垂径定理得 D 为 AC 的中点，AD = AC/2 = 4。


在 Rt△AOD 中，OA² = AD² + OD² = 4² + 3² = 25，因此 OA = 5。


所以 ⊙O 的半径为 5。


19. 解：（1）y=x2−2x−3=(x−1)2−4y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4，顶点坐标为 (1, -4)，对称轴为直线 x=1x=1。



（2）令 y=0y=0，x2−2x−3=0x^2-2x-3=0，(x−3)(x+1)=0(x-3)(x+1)=0，x1=−1x_1=-1，x2=3x_2=3。



∵ a=1>0a=1>0，抛物线开口向上，



∴ 当 x<−1x<-1 或 x>3x>3 时，y>0y>0。


20. 解：在 Rt△ABC 中，AB = √(AC² + BC²) = √(6² + 8²) = 10。


∵ BD = 5，且 AB = 10，D 为 AB 的中点。


在 Rt△ABC 中，斜边上的中线 CD = AB/2 = 5，即 CD = BD = AD = 5。


∵ ∠CDE = 90°，∠C = 90°，∴ DE∥AC。


又 ∵ D 为 AB 的中点，由三角形中位线定理的逆定理，E 为 BC 的中点。


故 CE = BC/2 = 4。


在 Rt△CDE 中，CD² = CE² + DE²，5² = 4² + DE²，DE² = 25 - 16 = 9，DE = 3。


答：DE 的长为 3。


B卷

一、填空题

21. 5−5i5 - 5i 解析：(2+i)(1−3i)=2−6i+i−3i2=2−5i+3=5−5i(2+i)(1-3i)=2-6i+i-3i^2=2-5i+3=5-5i。

22. {2}\{2\} 解析：A={−2,2}A=\{-2, 2\}，B={x∣x>0}B=\{x|x>0\}，交集为 {2}\{2\}。

23. 2i2i  解析：(1+i)2=1+2i+i2=1+2i−1=2i(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i。

24. 0  解析：对称轴 x=2x=2 过顶点 (2, -1)，设 y=a(x−2)2−1y=a(x-2)^2-1，代入 (0, 3)：3=4a−13=4a-1，a=1a=1。



展开得 y=x2−4x+3y=x^2-4x+3，故 a=1,b=−4,c=3a=1, b=-4, c=3，a+b+c=0a+b+c=0。

25. p=1p=1，另一个根为 −3-3  解析：代入 x=2x=2：4+2p−6=04+2p-6=0，p=1p=1。方程为 x2+x−6=0x^2+x-6=0，另一根为 −3-3。


二、解答题

26. 解：A={x∣−1≤x<4}A=\{x \mid -1 \leq x < 4\}，B={x∣2<x≤6}B=\{x \mid 2 < x \leq 6\}。



A∪B={x∣−1≤x≤6}A \cup B=\{x \mid -1 \leq x \leq 6\}。



A∩B={x∣2<x<4}A \cap B=\{x \mid 2 < x < 4\}。


27. 解：（1）z=2−i1+i=(2−i)(1−i)(1+i)(1−i)=2−2i−i+i21−i2=2−3i−12=1−3i2=12−32iz=\frac{2-i}{1+i}=\frac{(2-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{2-2i-i+i^2}{1-i^2}=\frac{2-3i-1}{2}=\frac{1-3i}{2}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i。

（2）∣z∣=(12)2+(32)2=14+94=104=102|z|=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{3}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{10}{4}}=\frac{\sqrt{10}}{2}。

28. 解：P 点位置：−10+2t-10+2t；Q 点位置：30−3t30-3t。

（1）相遇时：−10+2t=30−3t-10+2t=30-3t，5t=405t=40，t=8t=8（秒）。

（2）两点距离为 10：∣(−10+2t)−(30−3t)∣=10|(-10+2t)-(30-3t)|=10，即 ∣5t−40∣=10|5t-40|=10。

5t−40=105t-40=10 得 t=10t=10；5t−40=−105t-40=-10 得 t=6t=6。

答：当 t=6t=6 秒或 t=10t=10 秒时，P、Q 两点之间的距离为 10 个单位长度。