高一数学综合测试卷

（集合、一元二次函数、方程与不等式）

完成时间：______年____月____日 满分：150分 得分：________

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合 $A = \{x \mid x^2 - 3x + 2 = 0\}$，集合 $B = \{1, 2, 3\}$，则 $A \cap B$ 等于（         ）

A. $\{1, 2\}$  B. $\{1, 3\}$  C. $\{2, 3\}$  D. $\{3\}$

2. 已知集合 $A = \{x \mid -2 \leq x \leq 3\}$，$B = \{x \mid x \in \mathbb{Z}\}$，则 $A \cap B$ 中元素的个数为（         ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 3

3. 若集合 $A = \{1, 2, 3\}$，$B = \{x \mid x = 2n, n \in \mathbb{N}^*\}$，则 $A \cup B$ 等于（         ）

A. $\{2\}$  B. $\{1, 2, 3\}$  C. $\{2, 4, 6\}$  D. $\{1, 2, 3, 6\}$

4. 已知二次函数 $y = x^2 - 4x + 3$ 的对称轴为（         ）

A. $x = 1$  B. $x = -2$  C. $x = 2$  D. $x = -1$

5. 不等式 $x^2 - 5x + 6 > 0$ 的解集为（         ）

A. $2 < x < 3$  B. $x < 2$ 或 $x > 3$  C. $x > 3$  D. $x < 2$

6. 函数 $y = x^2 + 2kx + 1$ 的顶点在 $x$ 轴上，则 $k$ 的值为（         ）

A. $1$ 或 $-1$  B. $2$ 或 $-2$  C. $1$  D. $-1$

7. 已知方程 $\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + 2}{2}$ 的解为（         ）

A. $x = 4$  B. $x = 6$  C. $x = -4$  D. $x = -6$

8. 若不等式 $ax^2 + bx + 2 > 0$ 的解集为全体实数，则（         ）

A. $a > 0$ 且 $b^2 < 8a$  B. $a < 0$ 且 $b^2 > 8a$  C. $a > 0$ 且 $b^2 \le 8a$  D. $a < 0$ 且 $b^2 \le 8a$

9. 关于 $x$ 的方程 $x^2 - mx + 1 = 0$ 有两个相等实根，则实数 $m$ 的值为（         ）

A. $2$ 或 $-2$  B. $2$  C. $-2$  D. $4$ 或 $-4$

10. 设集合 $A = \{1, 2, 3\}$，$B = \{3, 4, 5\}$，则 $A \bigtriangleup B$（对称差）等于（         ）

A. $\{1, 2, 4, 5\}$  B. $\{3\}$  C. $\{1, 2\}$  D. $\{4, 5\}$

11. 不等式 $\frac{x - 1}{x + 2} \le 0$ 的解集为（         ）

A. $-2 < x < 1$  B. $-2 \le x < 1$  C. $x < -2$ 或 $x > 1$  D. $x \le 1$

12. 已知函数 $f(x) = x^2 + ax + 3$ 在 $x = -1$ 时取得最小值，则 $a$ 的值为（         ）

A. $2$  B. $-2$  C. $6$  D. $-6$

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知集合 $A = \{x \mid 1 \le x \le 5\}$，$B = \{y \mid y = 2x, x \in A\}$，则 $B$ 中元素的个数为_____________。

14. 若二次函数 $y = x^2 - 6x + m$ 的顶点在 $x$ 轴上，则实数 $m$ = ____________。

15. 不等式 $|2x - 3| < 5$ 的解集为 ____________。

16. 若关于 $x$ 的方程 $x^2 + 2kx + 3k = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $k$ 的取值范围为 ____________。

三、解答题（本大题共6小题，17题10分，18题10分，19题10分，20题10分，21题15分，22题15分，共70分）

17. 已知集合 $A = \{x \mid x^2 - 5x + 6 = 0\}$，$B = \{x \mid x^2 + 2x - 8 = 0\}$，求 $A \cup B$，并写出解答过程。

答：__________________________________

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18. 设二次函数 $y = x^2 - (2m+1)x + m^2 - 1$ 的图象恒在 $x$ 轴上方，求实数 $m$ 的取值范围，并写出比较过程。

答：__________________________________

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19. 解关于 $x$ 的不等式组 $\begin{cases} x^2 - 4x + 3 < 0 \\ 2x - 1 \ge 0 \end{cases}$，并在数轴上表示其解集。

答：__________________________________

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20. 根据二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的图象性质，解释当 $a > 0$ 且判别式 $\Delta < 0$ 时，该二次函数值恒为正。请结合 $y = 2x^2 - 4x + 3$ 进行说明论证。

答：__________________________________

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21. 已知关于 $x$ 的方程 $x^2 - 4x\cos\theta + 2\sin\theta = 0$ 有实根，求 $\theta$ 的取值范围（$0 \le \theta < 2\pi$）。

答：__________________________________

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22. 某网店销售一种成本为每件40元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量 $y$（件）与售价 $x$（元/件）满足关系式 $y = -2x + 240$。设该商品每天获得的销售利润为 $w$ 元，回答下列问题：

（1）求 $w$ 关于 $x$ 的函数解析式；

（2）若物价部门规定该商品的售价不得超过60元/件，则售价定为多少元时，每天能获得最大销售利润？最大利润是多少？

答：（1）____________________（2）____________________

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