数学思维开拓训练（二）

完成时间：120 分钟 满分：150 分 得分：__________

A 卷（共 100 分） B 卷（共 50 分）

A 卷（共 100 分）

第Ⅰ卷（选择题，共 32 分）

一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

第Ⅱ卷（非选择题，共 68 分）

二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）

三、解答题（本大题共 4 小题，共 48 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

14.（本小题满分 12 分）

已知二次函数 $y = x^2 - 2x - 3$。

（1）求该二次函数的顶点坐标；

（2）求该二次函数与 $x$ 轴的交点坐标；

（3）当 $0 \leq x \leq 3$ 时，求函数值 $y$ 的取值范围。

15.（本小题满分 12 分）

如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，弦 $CD \perp AB$ 于点 $E$，已知 $CD = 24$，$BE = 8$。

（1）求 $\odot O$ 的半径；

（2）求弦 $CD$ 的弦心距 $OE$ 的长。

16.（本小题满分 12 分）

如图，小明在点 $A$ 处测得某建筑物顶端 $C$ 的仰角为 $30^\circ$，向建筑物方向前进 $60$ 米到达点 $B$，此时测得该建筑物顶端 $C$ 的仰角为 $60^\circ$。已知测角仪的高度忽略不计，求该建筑物的高度（结果保留根号）。

17.（本小题满分 12 分）

如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，点 $D$ 是 $BC$ 的中点，点 $E$ 在 $AD$ 上，连接 $BE$ 并延长交 $AC$ 于点 $F$，且 $BF \perp AC$，垂足为 $F$。

（1）求证：$\triangle ABE \cong \triangle ACE$；

（2）若 $AB = 13$，$BC = 24$，求 $AD$ 和 $BF$ 的长。

B 卷（共 50 分）

四、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）

五、解答题（本大题共 2 小题，共 30 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

23.（本小题满分 15 分）

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知二次函数 $y = -x^2 + 2x + 3$ 的图象与 $x$ 轴分别交于 $A$、$B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$，抛物线的顶点为 $D$。

（1）求点 $A$、$B$、$C$、$D$ 的坐标；

（2）连接 $AC$、$BC$，求 $\triangle ABC$ 的面积；

（3）若点 $P$ 为抛物线上一点，且 $\triangle ABP$ 的面积等于 $\triangle ABC$ 面积的 $\dfrac{1}{2}$，求点 $P$ 的坐标。

24.（本小题满分 15 分）

如图，数轴上点 $A$ 表示的数为 $-3$，点 $B$ 表示的数为 9，点 $P$ 从点 $A$ 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点 $Q$ 从点 $B$ 出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向左运动。设运动时间为 $t$ 秒（$t > 0$）。

（1）当 $P$、$Q$ 两点相遇时，求 $t$ 的值及相遇点所表示的数；

（2）运动多少秒时，点 $P$ 与点 $Q$ 之间的距离为 4 个单位长度？

（3）若点 $M$ 为线段 $AB$ 的中点，在 $P$、$Q$ 运动过程中，是否存在某一时刻，使得线段 $PQ$ 恰好被点 $M$ 平分？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由。

数学 · 答题卡

满分：150 分 时间：120 分钟

一、选择题（1-8 题，每小题 4 分，共 32 分）

二、填空题（9-13 题 A 卷，每小题 4 分，共 20 分）

四、填空题（18-22 题 B 卷，每小题 4 分，共 20 分）

三、解答题（14-17 题 A 卷，共 48 分）

14.（12 分）

15.（12 分）

16.（12 分）

17.（12 分）

五、解答题（23-24 题 B 卷，共 30 分）

23.（15 分）

24.（15 分）

参考答案

一、选择题（每小题 4 分，共 32 分）

解析：

1. $y = (x - 2)^2 + 1$，顶点为 $(2, 1)$，故选 A。

2. 因式分解得 $(x - 2)(x - 3) = 0$，$x_1 = 2$，$x_2 = 3$，故选 A。

3. $AB = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$，故选 A。

4. 同弧所对圆周角等于圆心角的一半，$\angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB = 40^\circ$，故选 A。

5. $\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$，$\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$，和为 1，故选 C。

6. 并集取所有不同元素，$A \cup B = \{1, 2, 3, 4\}$，故选 B。

7. $(2 + i)(2 - i) = 4 - i^2 = 4 + 1 = 5$，故选 C。

8. $\dfrac{3}{7}$ 是有理数，其余为无理数，故选 D。

二、填空题（每小题 4 分，共 20 分）

解析：

9. 勾股定理：$r = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$。

10. $\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$，$\tan 45^\circ = 1$，和 $= \dfrac{3}{2}$。

11. 代入 $x = 2$ 得 $4 - 2m + 8 = 0$，$m = 6$。

12. 需在 $\{3, 4\}$ 中任选 $k$ 个元素加入 $B$（$k = 0, 1, 2$），共 $C_2^0 + C_2^1 + C_2^2 = 4$ 个。

13. $|3 - 4i| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5$。

三、解答题（共 48 分）

14.（12 分）

解：$y = x^2 - 2x - 3$。

（1）配方得 $y = (x - 1)^2 - 4$，故顶点坐标为 $(1, -4)$。

（2）令 $y = 0$，得 $x^2 - 2x - 3 = 0$，即 $(x - 3)(x + 1) = 0$，解得 $x_1 = 3$，$x_2 = -1$。所以与 $x$ 轴交点为 $(-1, 0)$，$(3, 0)$。

（3）当 $0 \leq x \leq 3$ 时，抛物线开口向上，对称轴 $x = 1$ 在区间内，故最小值为 $-4$（当 $x = 1$）；$x = 0$ 时 $y = -3$；$x = 3$ 时 $y = 0$。因此 $y$ 的取值范围为 $-4 \leq y \leq 0$。

15.（12 分）

解：设 $\odot O$ 的半径为 $R$，则 $OB = R$，$OE = OB - BE = R - 8$。

（1）由垂径定理，$CE = \dfrac{1}{2}CD = 12$。

在 Rt$\triangle OCE$ 中，$OE^2 + CE^2 = OC^2$，即 $(R - 8)^2 + 12^2 = R^2$。

整理得 $R^2 - 16R + 64 + 144 = R^2$，$-16R + 208 = 0$，$R = 13$。

（2）$OE = R - BE = 13 - 8 = 5$。

16.（12 分）

解：设建筑物高度为 $h$ 米，建筑底端为点 $D$，则 $AD = h \cot 30^\circ = \sqrt{3}h$，$BD = h \cot 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{3}h$。

由 $AB = AD - BD$，即 $\sqrt{3}h - \dfrac{\sqrt{3}}{3}h = 60$。

化简得 $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}h = 60$，解得 $h = 30\sqrt{3}$ 米。

答：该建筑物的高度为 $30\sqrt{3}$ 米。

17.（12 分）

（1）证明：$\because AB = AC$，$\triangle ABC$ 为等腰三角形。

$\because D$ 为 $BC$ 中点，$\therefore AD \perp BC$，且 $AD$ 平分 $\angle BAC$，即 $\angle BAE = \angle CAE$。

又 $AE = AE$，$AB = AC$，$\therefore \triangle ABE \cong \triangle ACE$（SAS）。

（2）解：$BD = \dfrac{1}{2}BC = 12$。

在 Rt$\triangle ABD$ 中，$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5$。

由面积法：$S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot AD = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot BF$。

即 $24 \times 5 = 13 \times BF$，解得 $BF = \dfrac{120}{13}$。

四、填空题（每小题 4 分，共 20 分）

解析：

18. $\sqrt{9} = 3$ 是有理数，无理数为 $\dfrac{\pi}{3}$，$\sqrt{5}$，$0.1010010001\cdots$，共 3 个。

19. $z = 2 + i$，$\overline{z} = 2 - i$，$z \cdot \overline{z} = 2^2 + 1^2 = 5$。

20. $A = [-2, 3]$，$B = (0, +\infty)$，$A \cap B = (0, 3]$。

21. $\cos B = \sin A = \dfrac{3}{5}$。

22. 判别式 $\Delta = 16 - 4k \geq 0$，$k \leq 4$。

五、解答题（共 30 分）

23.（15 分）

解：$y = -x^2 + 2x + 3$。

（1）令 $y = 0$，得 $-x^2 + 2x + 3 = 0$，即 $x^2 - 2x - 3 = 0$，解得 $x_1 = -1$，$x_2 = 3$。

故 $A(-1, 0)$，$B(3, 0)$；令 $x = 0$，$y = 3$，$C(0, 3)$。

配方：$y = -(x - 1)^2 + 4$，故顶点 $D(1, 4)$。

（2）$AB = 3 - (-1) = 4$，$OC = 3$，$S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$。

（3）设点 $P(x, y)$，则 $S_{\triangle ABP} = \dfrac{1}{2} \times 4 \times |y| = 2|y|$。

由题意 $2|y| = \dfrac{1}{2} \times 6 = 3$，得 $|y| = \dfrac{3}{2}$，即 $y = \dfrac{3}{2}$ 或 $y = -\dfrac{3}{2}$。

当 $y = \dfrac{3}{2}$ 时，$-x^2 + 2x + 3 = \dfrac{3}{2}$，即 $2x^2 - 4x - 3 = 0$，解得 $x = 1 \pm \dfrac{\sqrt{10}}{2}$。

当 $y = -\dfrac{3}{2}$ 时，$-x^2 + 2x - 4.5 = 0$，即 $2x^2 - 4x + 9 = 0$，$\Delta = 16 - 72 < 0$，无实数解。

所以满足条件的点 $P$ 为 $\left(1 + \dfrac{\sqrt{10}}{2}, \dfrac{3}{2}\right)$，$\left(1 - \dfrac{\sqrt{10}}{2}, \dfrac{3}{2}\right)$。

24.（15 分）

解：（1）点 $P$ 从 $-3$ 出发向右，运动 $t$ 秒后表示的数：$-3 + 2t$。

点 $Q$ 从 $9$ 出发向左，运动 $t$ 秒后表示的数：$9 - 3t$。

相遇时：$-3 + 2t = 9 - 3t$，解得 $t = \dfrac{12}{5}$ 秒。

相遇点所表示的数为 $-3 + 2 \times \dfrac{12}{5} = \dfrac{9}{5}$。

（2）两点距离为 4：$|(-3 + 2t) - (9 - 3t)| = 4$，即 $|5t - 12| = 4$。

解得 $5t - 12 = 4$ 或 $5t - 12 = -4$，$t = \dfrac{16}{5}$ 或 $t = \dfrac{8}{5}$。

（3）点 $M$ 为 $AB$ 中点，表示数为 $\dfrac{-3 + 9}{2} = 3$。

若 $M$ 平分 $PQ$，则 $M$ 的坐标等于 $P$、$Q$ 坐标的平均值，即 $\dfrac{(-3 + 2t) + (9 - 3t)}{2} = 3$。

整理得 $\dfrac{6 - t}{2} = 3$，$6 - t = 6$，$t = 0$。

但 $t > 0$，所以不存在这样的时刻，使得线段 $PQ$ 恰好被点 $M$ 平分。