北师大版九年级数学第一、二章综合自测题

完成时间：________ 分钟 满分：100 分 得分：________

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列关于矩形的说法，正确的是（　　）

A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等且互相平分 C. 四条边都相等 D. 每条对角线平分一组对角

2. 一元二次方程 $x^2 - 4x = 0$ 的解是（　　）

A. $x = 4$　B. $x_1 = 0$，$x_2 = 4$　C. $x = 0$　D. $x_1 = 0$，$x_2 = -4$

3. 菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC = 6$，$BD = 8$，则菱形的边长为（　　）

A. $5$　B. $10$　C. $14$　D. $7$

4. 一元二次方程 $2x^2 - 3x + 1 = 0$ 的根的情况是（　　）

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定

5. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）

A. 四条边相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分

6. 用配方法解方程 $x^2 - 6x - 7 = 0$，配方后得到的方程是（　　）

A. $(x - 3)^2 = 16$　B. $(x + 3)^2 = 16$　C. $(x - 3)^2 = 2$　D. $(x + 3)^2 = 2$

7. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 + 2x + k = 0$ 有两个相等的实数根，则 $k$ 的值为（　　）

A. $1$　B. $-1$　C. $4$　D. $-4$

8. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　）

A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 每条对角线平分一组对角

9. 已知一元二次方程 $x^2 - 3x + 1 = 0$ 的两根为 $x_1$，$x_2$，则 $x_1 + x_2$ 的值为（　　）

A. $3$　B. $-3$　C. $1$　D. $-1$

10. 顺次连接菱形四边中点所得的四边形一定是（　　）

A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

请将答案直接填写在题中的横线上。

三、解答题（本大题共7小题，共52分）

解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（6分）解方程：$x^2 - 4x - 5 = 0$。

18.（6分）解方程：$2x^2 - 3x - 2 = 0$。

19.（7分）已知矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$\angle AOB = 60^\circ$，$AB = 4$。求对角线 $AC$ 的长。

20.（7分）某商品每件进价为 $40$ 元，按每件 $60$ 元出售时，每周可售出 $100$ 件。经调查，每降价 $1$ 元，每周可多售出 $10$ 件。若要使每周利润达到 $2400$ 元，每件应降价多少元？

21.（8分）已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - (m + 2)x + m = 0$。

（1）求证：无论 $m$ 取何值，方程总有两个实数根；

（2）若方程的一个根为 $1$，求 $m$ 的值及另一个根。

22.（9分）已知：在菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$。求证：$AC \perp BD$，且 $AC$ 平分 $\angle BAD$。

23.（9分）某小区计划在长为 $30$ 米、宽为 $20$ 米的矩形空地上，修建两条宽度相同且互相垂直的小路，其余部分种植草坪。若种植草坪的面积为 $504$ 平方米，求小路的宽度。